math learning

線性代數自用

對角化

出處:http://www.topmath.org/university/alg0702.html

實對稱矩陣可對角化(特徵值為實數)

設 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ， $\lambda\in\mathbb{C}$ ， $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ 且 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 。等號兩邊同取共軛，就有 $\overline{A}\overline{\mathbf{x}}=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}$ ，再取轉置，

$\overline{\mathbf{x}}^T\overline{A}^T=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}^T$ 。

因為 $A$ 是實對稱矩陣， $\overline{A}^T=A^T=A$ ，便有

$\overline{\mathbf{x}}^TA=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}^T$ 。

將上式右乘 $\mathbf{x}$ 並代入特徵方程式，等號左邊為

$\begin{aligned} \overline{\mathbf{x}}^TA\mathbf{x}&=\overline{\mathbf{x}}^T(\lambda\mathbf{x})=\lambda\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}\end{aligned}$ ，

等號右邊為 $\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}$ ，合併即得

$(\lambda-\overline{\lambda})\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=0$ 。

出處: https://ccjou.wordpress.com/2011/02/09/%E5%AF%A6%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3%E5%8F%AF%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%B0%8D%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9A%84%E8%AD%89%E6%98%8E/

相似矩陣不變性質與證明

性質一：若 $B$ 相似於 $A$ ，則 $B$ 與 $A$ 有相同的特徵多項式。

將 $B=M^{-1}AM$ 代入 $B$ 的特徵多項式 $p_B(t)=\mathrm{det}(tI-B)$ ，就有

$\begin{aligned} p_B(t)&=\det(tM^{-1}M-M^{-1}AM)\\ &=\det(M^{-1}(tI-A)M)\\ &=(\det M^{-1})\det(tI-A)(\det M)\\ &=\det(tI-A)=p_A(t).\end{aligned}$

因為特徵值是特徵多項式的根，性質二是性質一的必然結果。

性質二：若 $B$ 相似於 $A$ ，則 $B$ 與 $A$ 有相同的特徵值。

設特徵方程式為 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，以 $A=MBM^{-1}$ 代入上式，

$MBM^{-1}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，

等號兩邊左乘 $M^{-1}$ ，

$B(M^{-1}\mathbf{x})=\lambda(M^{-1}\mathbf{x})$ 。

雖然 $B$ 和 $A$ 有相同的特徵值 $\lambda$ ，但 $B$ 的特徵向量為 $M^{-1}\mathbf{x}$ ，此即 $\mathbf{x}$ 參考基底 $\boldsymbol{\beta}$ 的座標向量 $[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}$ 。

行列式是所有特徵值的積，跡數 (trace) 是所有特徵值的和，性質三是性質二的必然結果。

性質三：若 $B$ 相似於 $A$ ，則 $\mathrm{det}B=\mathrm{det}A$ 且 $\mathrm{trace}B=\mathrm{trace}A$ 。

下一個性質是關於矩陣秩。

性質四：若 $B$ 相似於 $A$ ，則 $\mathrm{rank}B=\mathrm{rank}A$ 。

對任意矩陣左乘或右乘一個可逆矩陣不改變原矩陣的秩，故

$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(M^{-1}AM)=\mathrm{rank}B$ 。

下面提供詳細的向量空間分析證明。設 $M$ 為一可逆矩陣使得 $AM=MB$ 。若 $\mathbf{y}$ 屬於 $B$ 的行空間，記為 $\mathbf{y}\in C(B)$ ，即存在 $\mathbf{x}$ 滿足 $\mathbf{y}=B\mathbf{x}$ ，則 $AM\mathbf{x}=MB\mathbf{x}=M\mathbf{y}$ 意味 $M\mathbf{y}\in C(A)$ 。換句話說， $\mathbf{y}$ 屬於 $M^{-1}\left(C(A)\right)=\{M^{-1}\mathbf{z}\vert \mathbf{z}\in C(A)\}$ ，推得

$C(B)\subseteq M^{-1}\left(C(A)\right)$ 。

因為 $M$ 是一可逆線性變換， $\dim M^{-1}\left(C(A)\right)=\dim C(A)$ 。所以， $\text{rank}B\le\text{rank}A$ 。利用相似變換的對稱性，立知 $\hbox{rank}A\le\hbox{rank}B$ 。合併上面結果，證明 $\hbox{rank}A=\hbox{rank}B$ 。

PS(A的反矩陣B，DET(A)*DET(B)=1)

出處:

https://ccjou.wordpress.com/2010/01/08/%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E8%AE%8A%E6%8F%9B%E4%B8%8B%E7%9A%84%E4%B8%8D%E8%AE%8A%E6%80%A7%E8%B3%AA/

行列式相關證明
https://ccjou.wordpress.com/%E6%80%A5%E6%95%91%E6%9F%A5%E8%A9%A2/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/

A*B B*A有相同特徵值*****

出處:
https://books.google.com.tw/books?id=EnYwAkyvhdIC&pg=PA268&lpg=PA268&dq=A*B+B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&source=bl&ots=vBJcYXP4bu&sig=JdlwjlDYCDJ_6rTytM8kqg4oi_o&hl=zh-CN&sa=X&ved=0ahUKEwjCuZvI6oHOAhULG5QKHRxsA2kQ6AEITTAH#v=onepage&q=A*B%20B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&f=false

Rank相關證明
https://ccjou.wordpress.com/?s=rank

https://ccjou.wordpress.com/2009/09/22/%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%AD%90%E7%A9%BA%E9%96%93%E4%B9%8B%E5%92%8C%E8%AD%89%E6%98%8E-rankab%E2%89%A6rank-arank-b/

rank(A*A')=rank(A)

出處:
http://math.stackexchange.com/questions/349738/prove-rank-ata-rank-a-for-any-a-m-times-n

出處:http://math.stackexchange.com/questions/676333/prove-that-if-ranka-n-then-rankab-rankb

線性轉換旋轉

出處:
http://math1.ck.tp.edu.tw/%E9%99%B3%E5%98%AF%E8%99%8E/%E5%B0%8F%E8%99%8E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E5%86%8A/%E9%87%8D%E9%BB%9E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1%E6%95%99%E5%AD%B8%E9%87%8D%E9%BB%9E%E6%95%B4%E7%90%864-3-4%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E6%96%B9%E9%99%A3%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E7%B7%9A%E6%80%A7%E8%AE%8A%E6%8F%9B.pdf

http://math.nsysu.edu.tw/ezfiles/87/1087/img/495/605.pdf(微分方程聯立方程)

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86(凱萊定理)

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